الإصلاح

أهل الاختصاص

بقلم

أ.د.فوزي أحمد عبد السلام

تطور نظريات الحركة الحلقة الثالثة: نظرات أخري في مسألة جسمين

تحليل لمعادلة المسار

كنت أحاول جاهدا أن لا أكتب معادلات رياضية داخل النص في هذه السلسلة، لعلمي أن ذلك يرهق القارئ غير المتخصص، لكنني أري أنه قد حيل بيني وبين ذلك المطلب، فالحديث عن تطور الميكانيكا السماوية صعب جدا دون التعرض للمعادلات الرياضية، ولذلك أراني الآن مضطرا لكتابة المعادلة التي نتجت عن حل لمسألة الحركة النسبية لمسألة جسمين وهي

وهي معادلة مألوفة لدارسي الرياضيات في المرحلة الثانوية، حيث

هي نصف الوتر البؤري العمودي ، و

هي الزاوية القطبية وهي الزاوية المحصورة عند بؤرة القطع المخروطي بين المحور الأكبر ومتجه موضع الجسم في إحداثيات مركز الكتلة، وأخيرا

هي قيمة الاختلاف المركزي للمدار، والذي بناء علي قيمته سيتحدد تحليلنا لهذه المعادلة، والذي أرجو أن لا يزعج القارئ.

تصنيف المدارات حسب قيمة الاختلاف المركزي

إذا وضعنا في المعادلة السابقة نحصل علي معادلة دائرة وتعريفها هي "المحل الهندسي لنقطة تتحرك بحيث يكون بعدها عن نقطة ثابتة (المركز) تساوي مقدار ثابت (نصف القطر)". بينما إذا وضعنا (وهو قيمة الاختلاف المركزي للقطع المكافئ) نحصل علي وبما أن فإن المقام من الممكن أن يساوي صفر عندما يكون أي عندما يكون وبالتالي يكون الجسم في اللانهاية نظريا من الجسم المركزي أي أن المسار سيكون مسارا مفتوحا. و إذا وضعنا (وهو قيمة الاختلاف المركزي للقطع الزائد) أي أنها أن حيث أن كمية أكبر من الصفر بأقل القليل، أي أن قيمته تؤول للصفر وبالتالي نحصل علي وأيضا بما أن فإن المقام من الممكن أن يساوي صفر عندما يكون أي عندما يكون وذلك حسب وبالتالي يكون الجسم أيضا في اللانهاية نظريا من الجسم المركزي أي أن المسار سيكون مسارا فتوحا. وأخيرا إذا كانت (وهو قيمة الاختلاف المركزي للقطع الناقص) فإننا سنحصل علي و بما أن فلن يصل المقام إلي الصفر حتى عندما تكون وذلك لأن ومنها وبالتالي يدور الجسم حول الجسم المركزي فى مدار مغلق. لمزيد من تصوير الحلول أنظر الشكل والجدول رقم (1).

المدارات المغلقة و المدارات المفتوحة

يعرف المدار المغلق من ناحية الميكانيكا بأنه مدار يعود إلى الوضعية التي بدأ منها الحركة بعد وقت محدد تماما بنفس السرعة، بالتالي، فإنه ينفذ تماماً نفس الحركة مرة تلو أخرى. ومن ناحية هندسية بحته بأنه المسار الذي ينطبق فيه نقطتي نهايتيه، أي النقطتين الطرفيتين يسمي مسارا مغلقا، وغير ذلك يسمي مسارا مفتوحا. في المنظومات الديناميكية الحقيقية يصعب جدا تحقق ذلك الشرط القاسي، لكن تحت شروط تبسيطية للمسألة يمكن تقريب تلك المسارات المفتوحة واعتبارها مغلقة نسبيا.

تبصرات إضافية في المسألة

بينت الدراسات أن هناك نوعين فقط من القوى تنتج عنها مدارات مغلقة (الأول هو نموذج قانون القوة الخطية) والآخر (هو نموذج قانون التربيع العكسي). أحد هذه المعايير يكمن في أن الفترة اللازمة للتذبذب شعاعياً ينبغي أن يكون مساوياً لعدد نسبي مضروب في الفترة اللازمة للدوران حول المدار. قابلية القياس لهذه الدورة يمكن أن تكون صحيحة في حالات خاصة لقوانين قوة أخرى، ولكنها صحيحة عموماً في القانونين الخاصين المذكروين آنفين. إذا كانت القوة عبارة عن قانون أسي فإنه يمكن التعبير عن الحل بدلالة الدوال الدائرية و\أو الدوال البيضاوية إذا وإذا كان فقط الأس في قانون القوة مساويا لـ 1, -2, -3 (دوال دائرية) و-7, -5, -4, 0, 3, 5, -3/2, -5/2, -1/3, -5/3 و-7/3 (دوال بيضاوية). [1] بالمثل، هناك ثمان تراكيب خطية ممكنة فقط من قوانين القوى تعطينا الحل بدلالة الدوال الدائرية والبيضاوية [,32] ينتج حد التكعيب العكسي في جميع قوانين هذه الحالات، بل إن إضافة قوة التكعيب العكسي لا يؤثر على قابلية حل المسألة بدلالة حدود دوال معلومة. بشكل عام، بين نيوتن أنه بإجراء تعديلات على الشروط الابتدائية، فإن إضافة قوة كهذه لا يؤثر على الحركة الشعاعية للجسيم، لكنه يضاعف حركتها الزاوية بمعامل ثابت. الجدير بالذكر أن توسيعاً لمبرهنة نيوتن اكتشف عام 2000 من قبل محمد وفاودا [3]. برهن أيضا بونيت على أنه، إذا كان ممكناً إنتاج نفس المدار بعدد n من أنواع القوى المختلفة تحت شروط ابتدائية مختلفة من السرعة، فإن نفس المدار يمكن إنتاجه بتركيب خطي من نفس القوى، إذا تم اختيار سرعة ابتدائية بعناية.

الهوامش

[2] Wittikar, E.T. (1337) “A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies (4^th Ed., New York, Dover Publications.

[2] Broucke R. (1980). "Notes on the central force rⁿ". Astrophysics and Space Science, (72)33- 53.

[2] Mahomed F.M, Vawda F. (2000). "Application of Symmetries to Central Force Problems".Nonlinear Dynamics, (21)307- 315.