تتبوّأ الأعداد مكاناً متميّزاً في قلوب بعض الرياضيّين، لا أحد يستطيع تفسير كيف أنفق الرياضيّ الأمريكي «فريدريك كول»(1) في أواخر القرن التاسع عشر ومطلع القرن العشرين خمسة آلاف ساعة عمل، لإيجاد العوامل الأوّلية لأحد أعداد مرسين وهو العدد 1-267 . لعلّ الحبّ العددي هو الذي يجعل بعضهم من عالَم الأعداد امتداداً لعوالمهم الشخصيّة؛ فهم يتواصلون مع هذه الكائنات المجرّدة، وكأنّها مخلوقات تعيش معهم، ويستأنسون بها في وحدتهم. 

ثمّة نوع من الأُلفة قد تولّدت بين هؤلاء والأعداد، ربّما صداقة شخصيّة عند بعضهم؛ كما يقول الرياضيّ الهندي الفذّ سريفيناسا رامانوجان(2): «إنّ كلّ عدد يبدو لي كأنّه صديق شخصي». ارتبط هذا الرياضيّ - رغم وفاته وهو في ريعان شبابه - بعلاقة وجدانيّة خاصّة مع الأعداد، يصعب فهم كنهها، أو الوقوف على ماهيّتها. ويروي الرياضيّ الإنجليزي «هاردي»(3) أنّه عندما قدم «رامانوجان» إلى بريطانيا سنة 1914، لزيارة جامعة كيمبردج، ركب في إحدى سيارات الأجرة، وكان رقمها 1729، فقال «هاردي» لضيفه الهندي: «إنّ هذا العدد مملّ ويبعث على السأم»، فأجابه «رامانوجان» في الحال: «إنّه ليس كذلك يا عزيزي، فهو عدد مثير جدّاً للاهتمام، لأنّه أصغر عدد يمكن التعبير عنه كمجموع مكعّبي عددين بطريقتين مختلفتين. فهو يساوي 1729 =123+13 أيضاً يساوي 1729 =93+103،أيّ ماكينة حساب تلك».

 إذا كان الأُسّ p عدداً أوّلياً/غير أوّلي، فإنّ عدد ميرسين المناظر يكون أوّلياً/غير أوّلي بالترتيب، وبفضل مشروع البحث الكبير عن «أعداد ميرسين» الأوّلية في الإنترنت وبحلول أبريل 2020، اكتُشِف واحد وخمسون عدداً أوّلياً لميرسين، حيث أكبر عدد أوّلي معروف من أعداد ميرسين يساوي 1-282589933. مع ذلك لا يُعلم هل عدد «أعداد ميرسن» الأوّلية منته أم غير منته، «حدسيّة لينسترا-بوميرانس - فاغشتاف» (4) تنصّ على أنّ هناك عدداً غير منته من «أعداد ميرسن» الأوّلية كما تتنبّأ بوتيرة نُموّ تلك المجموعة. كذلك لا يُعلم عدد الحالات التي يكون فيها الأُسّ أوّليًّا، ويكون عدد ميرسن ذاته غير أوّلي. ولا يوجد اختبار بسيط يمكّننا من الجزم بأنّ عددًا ما من «أعداد ميرسين» أوّلي أو غير أوّلي. 

هذا يجعل من البحث عن «أعداد ميرسن» الأوّلية أمراً صعباً وخصوصاً أنّها تنمو بشكل سريع جدّاً. يُعدّ اختبار «لوكاس–ليهمر» (5) طريقة فعّالة لاختبار أوّلية «أعداد ميرسين». اعتقد عدد من الرياضيّين السابقين أنّ العدد MP=2P-1 يكون أوّلياً كلّما كان P عدداً أوّلياً، ولكن في 1536م أثبت «ريجيوس»(6) أنّ العدد 23x89 =2047=1 - 211  ليس أوّلياً، حيث إنّه حاصل ضرب 23 و89، وفي عام 1603 تحقّق «كاتالدي» (7) أنّ العددين 1 - 219  و 1 - 217 أوّليان، واستنتج «كاتالدي» وبشكل خاطئ أنّ العدد يكون أوّلياً لكلّ P=23,29,31,37، حيث أثبت «فيرما» (8) في 1645 أنّ «كاتالدي» كان خاطئاً بالنسبة للعددين P=23,37، وأثبت أويلر في 1738 أنّ كاتالدي كان أيضاً خاطئاً بالنسبة للعدد P=29، وفي وقت لاحق أثبت «أويلر» (9) أنّ «كاتالدي» كان مصيباً بالنسبة للعدد P=31. 

ومع ظهور الفرنسي مارين ميرسين (1588-1648)، وضع في مقدّمة أحد كتبه تخمينًا حول هذه الأعداد، مفاده أنّ العدد يكون أوّلياً عندما P=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257، وأنّه غير أوّلي لكلّ الأعداد الأخرى P<257 الصحيحة، ورغم أنّ هذا التخمين من ميرسين كان خاطئاً إلّا أنّ اسمه ظلّ ملتصقاً بهذه الأعداد حيث سمّيت باسمه. كان واضحًا أنّ ميرسين لم يكن قادرًا على التحقّق من كلّ هذه الأعداد P<257 لصعوبة ذلك في عصره. كذلك لم يكن بمقدور معاصريه التحقّق من موضوعته، فبقيت كذلك إلى مائة سنة وذلك عندما تحقّق أويلر في 1750 من أنّ العدد التالي في قائمة ميرسين هو 1 - 231، وبعد قرن آخر وفي 1876 بيّن «إدوارد لوكاس» أنّ العدد 1 - 2127 أوّلي، وبعد سبع سنوات أثبت عالم الرياضيّات الروسي «بيرفوشين»(10) أنّ العدد 1 - 261 أوّلي وهذا لم يذكره ميرسين، كذلك أثبت «باورس» (11) في بداية القرن العشرين أنّ ميرسين أغفل أيضاً العددين الأوّليين 1 - 289  و 1 - 2107  وبنهاية عام 1947 كانت سلسلة ميرسين للأعداد P<258 قد اكتملت بشكلها الصحيح وهي P=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127، أمّا بالنسبة لبقيّة أعداد ميرسين فقد تمّ اكتشافها مع ظهور الحاسب الحالي.

قديماً اكتشف الرياضيّون أنّه من الممكن تمثيل الأعداد على شكل أشكال هندسيّة باستخدام حبوب أو حصى، وهذه الأعداد تسمّى بالأعداد الشكليّة التي قد تكون أشكالاً مختلفة الأضلاع أو الأبعاد (العدد المضلّعي هو عدد من الممكن ترتيبه على شكل مضلّع). على سبيل المثال من الممكن تمثيل العدد 10 بترتيبه على شكل مثلّث منتظم ولكن لا يمكن ترتيبه على شكل مربّع كامل، بل يمكن ترتيب العدد 9 على شكل مربّع، لذلك يُسمّى عددًا مربّعًا،بينما يمكن ترتيب العدد 36 على شكل مربّع ومثلّث معًا (وتسمّى أعداد مربّعية مثلّثية). كما لا يمكن إنشاء أكثر من مضلّع منتظم كامل باستخدام عدد أوّلي. ومن الممكن أيضاً إنشاء أعداد شكليّة بترتيب أعلى على الرغم من أنّ الشبكة لن تكون منتظمة مثل الأعداد الأولى من الأعداد المسدّسة. العدد المثلّثي هو مجموع الأعداد الطبيعيّة من 1 إلى n حيث n هي رتبة العدد المثلّثي، ويمثّل بمثلّث، فمثلاً تعطى الأعداد الأولى من سلسلة الأعداد المثلّثية كالتالي: 1، 3، 6، 10، 15، ... . الأعداد المثلّثية أكثر كثافة من معظم الأعداد المضلّعية الأخرى، حيث إنّ مجموع عددين مثلّثيين متتاليين يعطي عدد مربّعي، وكثافة الأعداد المثلّثية بالنسبة إلى كثافة الأعداد المربّعة تساوي جذر 2. كما لا يوجد عدد مثلّثي مكعّب باستثناء 1 و0 حسب حدسيّة كاتالان. ومن جماليّات هذه المجموعة أنّ الأعداد المثلّثية ذات الترتيب 3,2,1,...,n تأتي على النمط الآتي: فرديّة - فرديّة - زوجيّة - زوجيّة - فرديّة - فرديّة - زوجيّة - زوجيّة - ... ولم يُعثر بعد على عدد مثلّثي مربّعي مخمّسي في نفس الوقت. ويجدر بالذكر أنّ مجموع مقاليب الأعداد المثلّثية يقترب جدًّا من 2.

برهن «أويلر» العلاقة التي وضعها «إقليدس»(12) بعد ألفي عام من وفاته، وهذا يدلّ على صعوبة العمل على هذه المجموعة الفريدة، لكن هذا لم يمنع العلماء من اكتشاف صيغ أخرى للأعداد المثاليّة، فقد توصّلوا إلى صيغــــــــة جميلــــــة تعتمد على العـــــــــدد المثلّثي،وهي:

حيث I هو العدد المثالي، و T هو العدد المثلّثي، والأعداد i,j أعداد صحيحة موجبة. كما بُرهِن أيضًا أنّ جميع الأعداد المثاليّة أعداد مسدّسة، مع الانتباه إلى أنّ بعض الأعداد المثلّثية أو المسدّسية لا تدخل في زمرة الأعداد المثاليّة بالضرورة. (انظر الشكل 1)

يُقال إنّ «إقليدس» برهن أنّه إذا كان MP هو عددًا أوّليًّا لميرسين، فإنّ                                                         عددا مثاليّا زوجيّا. وفي القرن العاشر، يقال أيضاً إنّ ابن الهيثم كان أوّل من حــــــــــــاول تصنيف الأعــــــداد المثاليّـــة الزوجيّة على شكــــل (2P-1(2p-1حيث 2p-1 عدد أوّلي، وفي القرن الثامن عشر، برهن أويلر المبرهنة العكسيّة، ومفادها أنّ كلّ عدد مثالي زوجي له هذا الشكل:

انحراف تشبتشيف (13) «حتّى الأعداد تتسابق»

يبدو للوهلة الأولى أنّ توزيع الأعداد الأوّلية عشوائيّاً، فلا توجد من حيث المبدأ أيّة صلة خاصّة بين سمات الأعداد الأوّلية المتجاورة أو المتتالية. وباستثناء العددين 2 و5، لا يمكن للأعداد الأوّلية أن تنتهي بالأرقام 0، 2، 4، 6، 8، و5 (وإلّا فإنّها تكون قابلة للقسمة على 2 أو 5). فالأعداد الأوّلية تنتهي بالتالي بـ 1، 3، 7، 9. وإذا كان عدد أوّلي ينتهي بالرقم 9 فإنّ هناك فرصاً متساوية لينتهي العدد الأوّلي التالي له بالأرقام نفسها 1، 3، 7، أو 9. 

لكنّنا نعرف أنّ توزّع الأعداد الأوّلية ليس عشوائيّاً تماماً: فنحن نعرف انتظامات عدّة، مثل انحراف «تشبتشيف» (وهو مقياس رياضي لحساب المسافة بين نقطتين في بُعد معيّن. المعنى الأساسي والأبسط له هو أنّه «أكبر فرق بين نقطتين في اتجاه واحد»). وفي نظريّة الأعداد، يُلاحظ أنّ الأعداد الأوّلية تميل إلى «تفضيل» أشكال معيّنة عند قسمتها على أعداد أخرى، وتتوزّع بشكل غير متساوٍ رغم أنّ النظريات العامّة توحي بتوزيعها بالتساوي.(14) 

كلّ الأعداد الأوّلية باستثناء الرقم 2 هي أعداد فرديّة ويمكن تقسيمها إلى نوعين حسب باقي قسمتها على 4 إلى أعداد أوّلية يكون باقي قسمتها 1 (مثل: 5، 13، 17) وأعداد أوّلية يكون باقي قسمتها 3 (مثل: 3، 7، 11). المنطق يقول إنّ النوعين يجب أن يظهرا بأعداد متساوية تقريباً. لكنّ عالم الرياضيّات الروسي «تشبتشيف» لاحظ عام 1853 أنّ الأعداد الأوّلية التي على شكل 4n+3  تتصدّر السباق وتظهر بعدد أكبر من الأعداد التي على شكل 4n+1 كلّما قمنا بالعدّ إلى رقم كبير. مفارقة الانحراف:متى ينعكس؟ 

المثير للدهشة في انحراف تشبتشيف هو أنّه ليس تفوّقاً دائماً بنسبة 100 %. ففي بداية الأعداد، قد تسبق أعداد 4n+1 لفترة طويلة (مثلًا عند الرقم 26861 يحدث أوّل تفوّق لها)، لكن بصفة عامّة وعلى المدى الطويل، تظلّ الغلبة لأعداد 4n+3. هذا التفضيل في سباق الأعداد هو ما يُعرف بـ «الانحراف». أمّا عن علاقة الانحراف بفرضيّة ريمان فإنّ هذه الظاهرة تتعمّق في «نظريّة الأعداد التحليليّة» وترتبط بشكل وثيق بمسائل الألفيّة الرياضيّة المعقّدة مثل «فرضيّة ريمان». 

تتصرّف الأعداد الأوّلية بشكل عشوائي جدّاً، والانحراف يساعد علماء الرياضيّات في دراسة الفراغات والموجات بينها. استطاع علماء الرياضيّات باستخدام فرضيّة ريمان قياس هذا الانحراف بدقّة رياضيّة مثل إثبات أنّ أعداد 4n+3 تكون متقدّمة بنسبة تصل إلى حوالي 99.59 % من الوقت. 

ثمّ سباق آخر أثبته «كنان سونداراريان»(15) و«روبرت ليميك أوليفر»(16): فالعدد الأوّلي الذي يلي عدداً أوّلياً ينتهي بالرقم 9، على سبيل المثال، لديه 65 % من الحظوظ أكثر لكي ينتهي بالرقم 1 من الرقم 9. وكان «كنان سونداراريان» قد لاحظ هذا الميل خلال دراسة الأعداد الأوّلية الأقلّ من 1000. ولكي يتأكّد «روبرت ليميك أوليفر» من هذه الغرابة، وضع برنامجاً ليشمل هذا التحليل 400 مليار عدد أوّلي. وما أدهش الباحثين هو أنّ هذا الانحراف أقوى بكثير من «انحراف تشبتشيف». 

وهكذا فقد بيّن الباحثان بطريقة رقميّة برمجيّة أنّ الأعداد الأوّلية التي تنتهي بالعدد نفسه تميل إلى أن «تعود للظهور». ولم يكن أحد قد لاحظ ذلك قبل الآن. فكيف نفسّر أنّه من النادر أكثر العثور على عددين أوّليين متتاليين مع الرقم الأخير نفسه؟ 

الفكرة الأولى هي التالية: لنأخذ على سبيل المثال العدد الأوّلي 43. إنّ الأرقام القابلة لأن تكون أوّلية بعده هي 47 و49 و51 قبل الوصول إلى 53 الذي ينتهي بالرقم 3. ستكون هناك، بالتالي،فرص أكبر للوقوع على عدد أوّلي ينتهي برقم مختلف (كما نعلم فإنّ 47 هنا هو عدد أوّلي). فالحجّة منطقيّة، لكنّ العالمين الرياضيّين يعترفان بأنّ هذا التفسير لا يسمح بتفسير أهميّة هذا الانحراف وامتداده. لكنّ التفسير يختبئ في مخمّنة اقترحها عالما الرياضيّات الإنجليزيّان «غودفري هاردي» (17) و«جون ليتلوود» (18) في عام 1923. وتعطي هذه المخمّنة تقديراً لتواتر ظهور بعض بنى الأعداد الأوّلية التي تسمّى k-tuples، على سبيل المثال، الثنائيّات من الأعداد الأوّلية التي يفصل بينها وحدتان (وتسمّى أيضاً الأعداد الأوّلية التوائم مثل 17 و19)، والثلاثيّات والرباعيّات إلخ. 

إنّ هذه المخمّنة، العامّة جدّاً، تشتمل على سبيل المثال مخمّنة الأعداد الأوّلية التوائم التي تفترض أنّه يوجد عدد لا نهائي من هذه الأعداد. وبالنظر عن قرب أكثر لمخمّنة «هاردي» و«ليتلوود»، نحصل على روابط حول الأرقام الأخيرة للأعداد الأوّلية التي تتوالى. وتتوافق هذه النتائج بشكل كامل مع ملاحظات «كنان سونداراريان» و«روبرت ليميك أوليفر». ولا بدّ من الإشارة إلى أنّ هذه الملاحظات لـ«هاردي» و«ليتلوود» لم تُبرهن حتى اليوم. مع ذلك فهي تعدّ محتملة جدّاً لأنّها اختُبرت عدديًّا وبدقّة عالية جدًّا. إنّ هذا الاكتشاف الجديد يأتي ليبرهن بشكل غير مباشر أيضاً على أنّ مخمّنة «هاردي» و«ليتلوود» هي صحيحة على الأرجح.